Funktionen verstehen
Von linearen bis zu ganzrationalen Funktionen: erklärt, zum Ausprobieren und mit Prüfmodus. In der Werkstatt zeichnest du eigene Graphen und prüfst Wertetabellen.
Was ist eine Funktion?
Zuordnung, Graph, wichtige Begriffe – und warum der Grad so viel verrät.
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung: Jedem erlaubten x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Stell dir eine Maschine vor: Du gibst eine Zahl hinein, die Maschine rechnet immer nach derselben Regel und gibt genau ein Ergebnis aus.
\(f(x)\) liest man „f von x“. Gemeint ist der y-Wert, der zu x gehört. Diese drei Schreibweisen bedeuten dasselbe:
\(f(x)=2x+1 \qquad y=2x+1 \qquad f\colon x\mapsto 2x+1\)
Jeder Punkt des Graphen hat die Form \(P\big(x\,|\,f(x)\big)\).
Funktion oder nicht? Der Senkrechtentest
Ziehe die senkrechte Linie über die Kurve. Trifft sie die Kurve an irgendeiner Stelle mehr als einmal, gehören zu einem x-Wert zwei y-Werte – dann ist es keine Funktion.
Wichtige Begriffe
- Definitionsmenge \(D\)
- Alle x-Werte, die man einsetzen darf. Bei \(f(x)=\sqrt{x}\) sind das nur \(x\ge 0\).
- Wertemenge \(W\)
- Alle y-Werte, die herauskommen können. Bei \(f(x)=x^2\) ist das \(y\ge 0\).
- Nullstelle
- Ein x-Wert mit \(f(x)=0\). Dort schneidet oder berührt der Graph die x-Achse.
- y-Achsenabschnitt
- Der Wert \(f(0)\). Dort schneidet der Graph die y-Achse.
- Graph
- Alle Punkte \(\big(x\,|\,f(x)\big)\) zusammen, gezeichnet im Koordinatensystem.
Der Grad einer Funktion
Bei ganzrationalen Funktionen (auch Polynomfunktionen genannt) ist der Grad der höchste Exponent von x. Er bestimmt die Grundform des Graphen – deshalb sind die Kapitel dieser Seite nach dem Grad sortiert.
\(f(x)=3x^{\class{t-acc}{2}}-5x+1 \quad\Rightarrow\quad \text{Grad } 2\)
Lineare Funktionen
Grad 0 und 1 – ihre Graphen sind Geraden.
\(f(x)=\class{t-m}{m}\,x+\class{t-b}{b}\)
Ist \(m\neq 0\), hat die Funktion den Grad 1. Ist \(m=0\), bleibt nur \(f(x)=b\) übrig – eine konstante Funktion vom Grad 0. Ihr Graph ist eine waagerechte Gerade.
Die Steigung mit dem Steigungsdreieck
Nimm zwei Punkte auf der Geraden. Der Weg nach rechts heißt \(\class{t-dx}{\Delta x}\) („Delta x“, die Differenz der x-Werte), der Weg nach oben \(\class{t-dy}{\Delta y}\). Die Steigung ist der Quotient der beiden. Ziehe die Punkte P und Q.
Steigung als Treppe
Merk dir den Satz: „1 nach rechts, m nach oben.“ Ist m negativ, geht es entsprechend nach unten. Verändere m und b und beobachte die Stufen.
- \(m>0\): Die Gerade steigt.
- \(m<0\): Die Gerade fällt.
- \(m=0\): Die Gerade verläuft waagerecht.
- Je größer der Betrag \(|m|\), desto steiler ist die Gerade.
Nullstelle berechnen
Setze \(f(x)=0\) und stelle nach x um. Beispiel für \(f(x)=2x-6\):
Die Gerade schneidet die x-Achse also im Punkt \(N(3\,|\,0)\). Allgemein gilt \(x_0=-\dfrac{b}{m}\), sofern \(m\neq0\).
Geradengleichung aus zwei Punkten
Gegeben sind \(P(1\,|\,2)\) und \(Q(3\,|\,6)\).
- Steigung berechnen: \(m=\dfrac{6-2}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2\)
- Einen Punkt einsetzen, um b zu finden: \(2=2\cdot 1+b\;\Rightarrow\; b=0\)
- Ergebnis aufschreiben: \(f(x)=2x\)
Parallel und senkrecht
Parallele Geraden haben dieselbe Steigung: \(m_1=m_2\).
Zwei Geraden stehen senkrecht (orthogonal) aufeinander, wenn \(m_1\cdot m_2=-1\) gilt, also \(m_2=-\dfrac{1}{m_1}\).
Quadratische Funktionen
Grad 2 – ihre Graphen sind Parabeln.
\(f(x)=\class{t-a}{a}x^2+bx+c \qquad (a\neq 0)\)
Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. Die einfachste ist die Normalparabel \(f(x)=x^2\):
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Die Werte wiederholen sich spiegelbildlich: Die Parabel ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Ihr tiefster Punkt heißt Scheitelpunkt.
Parabeln verschieben und strecken
In der Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen. Bewege die Regler oder ziehe den Scheitelpunkt S. Die gestrichelte Kurve ist die Normalparabel zum Vergleich.
\(f(x)=\class{t-a}{a}(x-\class{t-d}{d})^2+\class{t-e}{e} \quad\Rightarrow\quad S(\class{t-d}{d}\,|\,\class{t-e}{e})\)
- \(a>0\): nach oben geöffnet, \(a<0\): nach unten geöffnet.
- \(|a|>1\): gestreckt (schmaler), \(|a|<1\): gestaucht (breiter).
- \(d\) verschiebt nach rechts oder links, \(e\) nach oben oder unten.
Das Minus in der Klammer täuscht leicht: Bei \((x+3)^2\) ist \(d=-3\). Die Parabel wandert also um 3 nach links.
Drei Formen, drei Stärken
| Form | Gleichung | Was man direkt ablesen kann |
|---|---|---|
| Normalform | \(f(x)=ax^2+bx+c\) | y-Achsenabschnitt \(c\) |
| Scheitelpunktform | \(f(x)=a(x-d)^2+e\) | Scheitelpunkt \(S(d\,|\,e)\) |
| Nullstellenform | \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) | Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) |
Nullstellen mit der pq-Formel
Bringe die Gleichung zuerst in die Form \(x^2+px+q=0\), notfalls indem du durch a teilst. Dann gilt:
Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante \(D\). Er entscheidet, wie viele Nullstellen es gibt.
Alternativ funktioniert die abc-Formel (Mitternachtsformel): \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).
Die Steigung ändert sich ständig
Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich. Bei einer Parabel nicht: Links fällt sie, rechts steigt sie. Die Steigung an einer Stelle misst man mit der Tangente – der Geraden, die den Graphen dort nur berührt. Ziehe den blauen Punkt entlang der Parabel.
Im Scheitelpunkt ist die Tangente waagerecht, die Steigung dort ist 0.
Ab Klasse 11 heißt die Steigung an der Stelle \(x_0\) Ableitung \(f'(x_0)\). Für \(f(x)=ax^2+bx+c\) gilt \(f'(x)=2ax+b\).
Kubische Funktionen
Grad 3 – S-Kurven mit Hoch-, Tief- und Wendepunkt.
\(f(x)=\class{t-a}{a}x^3+bx^2+cx+d\qquad(a\neq0)\)
Die einfachste kubische Funktion ist \(f(x)=x^3\). Ihr Graph hat eine S-Form: Er kommt von links unten, wird im Ursprung kurz flach und läuft nach rechts oben. Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, denn \((-x)^3=-x^3\).
Nullstellen und Linearfaktoren
Kennt man die Nullstellen \(x_1,x_2,x_3\), lässt sich die Funktion als Produkt schreiben. Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt). Ziehe die Nullstellen auf der x-Achse.
Eine Funktion 3. Grades hat mindestens eine und höchstens drei Nullstellen. Mindestens eine, weil die Enden des Graphen in entgegengesetzte Richtungen zeigen – dazwischen muss er die x-Achse kreuzen.
Steigung, Hoch- und Tiefpunkte
Wo der Graph von steigend zu fallend wechselt, liegt ein Hochpunkt; wechselt er von fallend zu steigend, ein Tiefpunkt. Dort ist die Tangente waagerecht. Der gestrichelte Steigungsgraph zeigt für jedes x die Steigung als y-Wert – bei einer kubischen Funktion ist er eine Parabel.
Krümmung und Wendepunkt
Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad von links nach rechts über den Graphen. Mal lenkst du nach rechts (Rechtskurve), mal nach links (Linkskurve). Der Punkt, an dem du die Lenkrichtung wechselst, heißt Wendepunkt. Jede kubische Funktion hat genau einen. Schalte bei den Linearfaktoren oben „Krümmung einfärben“ ein.
Bei \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\) liegt der Wendepunkt beim Mittelwert der drei Nullstellen: \(x_W=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}\).
Nullstellen berechnen durch Ausklammern
Fehlt die Zahl ohne x, kannst du x ausklammern:
Geht kein Ausklammern, rät man eine Nullstelle und nutzt die Polynomdivision (Klasse 11).
Ganzrationale Funktionen
Grad n – die Regeln, die für alle Grade gelten.
\(f(x)=\class{t-a}{a_n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\)
Alle Funktionen der bisherigen Kapitel gehören zu dieser Familie. Die Zahl \(n\) ist der Grad, \(a_n\neq0\) heißt Leitkoeffizient, und \(a_0\) ist der y-Achsenabschnitt.
Die Bausteine: Potenzfunktionen
Funktionen der Form \(f(x)=x^n\) sind die Grundformen. Schalte verschiedene Exponenten ein und vergleiche.
- Gerader Exponent: U-Form, achsensymmetrisch zur y-Achse, Graph durch \((-1\,|\,1)\) und \((1\,|\,1)\).
- Ungerader Exponent: S-Form, punktsymmetrisch zum Ursprung, Graph durch \((-1\,|\,-1)\) und \((1\,|\,1)\).
- Je größer n, desto flacher verläuft der Graph zwischen −1 und 1 und desto steiler außerhalb.
Globalverlauf: Wohin laufen die Enden?
Für sehr große oder sehr kleine x bestimmt allein der Summand mit der höchsten Potenz \(a_nx^n\) das Verhalten. Es gibt nur vier Möglichkeiten – die Pfeile zeigen, wohin die Enden laufen:
Was der Grad verrät
| Eigenschaft bei Grad n | höchstens |
|---|---|
| Nullstellen | \(n\) |
| Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) | \(n-1\) |
| Wendepunkte | \(n-2\) |
Bei ungeradem Grad gibt es immer mindestens eine Nullstelle.
Symmetrie erkennen
- Nur gerade Exponenten (die Zahl ohne x zählt als \(x^0\)): achsensymmetrisch zur y-Achse. Beispiel: \(f(x)=x^4-3x^2+1\).
- Nur ungerade Exponenten: punktsymmetrisch zum Ursprung. Beispiel: \(f(x)=2x^5-x^3+4x\).
- Gemischt: keine dieser beiden Symmetrien. Beispiel: \(f(x)=x^3+x^2\).
Vielfachheit von Nullstellen
In der faktorisierten Form zeigt der Exponent eines Faktors, wie sich der Graph an der Nullstelle verhält. Wähle für jede Nullstelle die Vielfachheit und ziehe sie auf der x-Achse.
- Einfache Nullstelle: Der Graph schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel).
- Doppelte Nullstelle: Der Graph berührt die x-Achse – dort liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt.
- Dreifache Nullstelle: Der Graph schneidet die x-Achse und ist dort waagerecht – ein Sattelpunkt.
Gemischt
Alle Grade im Vergleich – Steigungen verstehen, Graphen erkennen.
Vergleich auf einen Blick
| Grad | Name | Beispiel | Graph | Nullstellen (höchstens) | Steigung |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | konstant | \(f(x)=2\) | waagerechte Gerade | keine* | überall 0 |
| 1 | linear | \(f(x)=2x-1\) | Gerade | 1 | überall gleich m |
| 2 | quadratisch | \(f(x)=x^2-4\) | Parabel | 2 | ändert sich gleichmäßig |
| 3 | kubisch | \(f(x)=x^3-3x\) | S-Kurve | 3 | ändert sich wie eine Parabel |
| 4 | Grad 4 | \(f(x)=x^4-4x^2\) | W- oder M-Form | 4 | ändert sich wie eine kubische Funktion |
* Ausnahme: \(f(x)=0\) liegt komplett auf der x-Achse.
Die Steigungsleiter
Zeichnet man zu jeder Stelle x die Steigung des Graphen als y-Wert, entsteht der Steigungsgraph. Er hat immer genau einen Grad weniger. Wähle einen Grad und ziehe den blauen Punkt.
Grad-Detektiv
Wie hoch ist der Grad? Achte auf zwei Hinweise: Wie oft wechselt der Graph zwischen Steigen und Fallen? Und zeigen die Enden in dieselbe oder in entgegengesetzte Richtungen?
Ausblick: Funktionen ohne Grad
Nicht jede Funktion ist ganzrational. Diese hier haben keinen Grad, begegnen dir aber ab Klasse 9 oder 10:
Probiere sie in der Werkstatt aus – zum Beispiel 2^x oder sin(x).
Werkstatt
Funktionen zeichnen, eigene Punkte verbinden und Wertetabellen prüfen.
Funktionen eingeben
Beispiele zum Antippen:
Schreibweise: 2x^2 für 2x², sqrt(x) für √x, (x-1)^2 mit Klammern. Komma und Punkt funktionieren beide.
Analyse von
Wertetabelle
Trage zu jedem x den passenden Funktionswert ein und lass ihn prüfen. Die x-Werte kannst du selbst ändern. Funktion: