Ganze Zahlen, Dezimalzahlen (0,5) oder Brüche (1/2). Fällt ein Glied weg, trage 0 ein.
Steckbriefaufgaben
Ganzrationale Funktionen aus ihren Eigenschaften rekonstruieren. Ein Übungsheft mit immer neuen Aufgaben, Lösungsweg Schritt für Schritt und Erklärungen.
Grad
Niveau
Lösungsweg
Erst selbst probieren, dann Schritt für Schritt aufdecken. Unklar, was ein Begriff bedeutet? Die Erklärungen helfen weiter.
Worum es geht
Bei einer Steckbriefaufgabe kennt man die Funktion selbst nicht, wohl aber einige ihrer Merkmale – gleichsam ihren Steckbrief. Aus diesen Indizien (Hinweisen) rekonstruiert man die Funktionsgleichung. Man betreibt also eine Kurvendiskussion mit umgekehrten Vorzeichen: Statt aus der Gleichung die Hoch- und Wendepunkte zu ermitteln, schließt man von den Punkten auf die Gleichung.
Das Ganze steht und fällt mit einer einzigen Fertigkeit: jeden Satz des Aufgabentextes präzise in eine Gleichung zu übersetzen. Der Rest ist solides Handwerk.
Das Vorgehen in fünf Schritten
- Ansatz aufstellen. Der Grad n verrät die allgemeine Form. Eine Funktion vom Grad n hat n + 1 Koeffizienten (Vorfaktoren), also n + 1 Unbekannte. Gleich die Ableitungen f′ und f″ mitbilden.
- Eigenschaften übersetzen. Jede Aussage liefert eine, zwei oder sogar drei Gleichungen (siehe Tabelle unten).
- Bilanz ziehen. Man benötigt genau so viele voneinander unabhängige Gleichungen, wie es Unbekannte gibt – nicht mehr, nicht weniger.
- Gleichungssystem lösen, am besten mit dem Gauß-Verfahren oder durch geschicktes Einsetzen.
- Probe machen. Die Gleichungen aus Schritt 2 sind nur notwendige Bedingungen. Ob an der Stelle wirklich ein Hochpunkt oder Wendepunkt liegt, klärt erst die hinreichende Bedingung.
Der Ansatz je nach Grad
| Grad | Allgemeine Form | Unbekannte |
|---|---|---|
| 2 | f(x) = ax2 + bx + c | 3 |
| 3 | f(x) = ax3 + bx2 + cx + d | 4 |
| 4 | f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e | 5 |
Für Grad 3 lauten die Ableitungen f′(x) = 3ax2 + 2bx + c und f″(x) = 6ax + 2b.
Übersetzungstabelle
Das Herzstück jeder Steckbriefaufgabe. Wer diese Tabelle verinnerlicht hat, hat die halbe Miete.
| Im Aufgabentext steht … | Bedingung(en) | Anzahl |
|---|---|---|
| Der Punkt P(2|5) liegt auf dem Graphen. | f(2) = 5 | 1 |
| Der Graph schneidet die y-Achse bei 3. | f(0) = 3 | 1 |
| Der Graph geht durch den Ursprung. | f(0) = 0 | 1 |
| Nullstelle bei x = 4 | f(4) = 0 | 1 |
| Extremstelle oder waagerechte Tangente bei x = 1 | f′(1) = 0 | 1 |
| Hochpunkt bzw. Tiefpunkt H(1|4) | f(1) = 4 und f′(1) = 0 | 2 |
| Der Graph berührt die x-Achse bei x = 2. | f(2) = 0 und f′(2) = 0 | 2 |
| Wendestelle bei x = 0 | f″(0) = 0 | 1 |
| Wendepunkt W(0|1) | f(0) = 1 und f″(0) = 0 | 2 |
| Sattelpunkt S(1|2) | f(1) = 2, f′(1) = 0, f″(1) = 0 | 3 |
| Im Punkt P(2|1) hat der Graph die Steigung 3. | f(2) = 1 und f′(2) = 3 | 2 |
| Die Wendetangente in W(1|0) hat die Steigung −2. | f(1) = 0, f′(1) = −2, f″(1) = 0 | 3 |
| Die Tangente bei x = 1 ist parallel zu y = 4x − 1. | f′(1) = 4 | 1 |
Wer A sagt, muss auch B sagen.
Genau so verhält es sich mit vollständig angegebenen Punkten: Wer einen Hochpunkt mit beiden Koordinaten nennt, liefert zwei Bedingungen auf einmal – den Punkt selbst und die waagerechte Tangente. Eine Wendetangente mit Punkt und Steigung liefert sogar drei.
Symmetrie spart Arbeit
Achsensymmetrisch zur y-Achse heißt: Es kommen nur gerade Exponenten vor. Bei Grad 4 schrumpft der Ansatz zu f(x) = ax4 + bx2 + c – drei statt fünf Unbekannte.
Punktsymmetrisch zum Ursprung heißt: Es kommen nur ungerade Exponenten vor. Bei Grad 3 bleibt f(x) = ax3 + bx.
Die Symmetrie ist also eine elegante Abkürzung: Sie tilgt Unbekannte, ohne selbst eine Gleichung zu verbrauchen. Aber Vorsicht, sie kann auch Bedingungen entwerten. Bei einer achsensymmetrischen Funktion ist f′(0) = 0 ohnehin immer erfüllt – diese Information ist redundant und hilft beim Lösen nicht weiter.
Das Gauß-Verfahren in Kürze
Ziel ist die Stufenform (Dreiecksform): In jeder Zeile steht eine Unbekannte weniger als in der darüber. Dafür sind genau drei Umformungen erlaubt:
- Zwei Zeilen vertauschen.
- Eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren.
- Das Vielfache einer Zeile zu einer anderen addieren oder davon subtrahieren.
Hat man die Stufenform erreicht, löst man die unterste Zeile nach ihrer einzigen Unbekannten auf und setzt diese Lösung Zeile für Zeile nach oben ein. Im Aufgabenbereich wird jeder Zeilenschritt als Matrix angezeigt; die Schreibweise „neue III = 2·III − 3·I“ bedeutet, dass die dritte Zeile verdoppelt und davon das Dreifache der ersten abgezogen wird.
Ein Tipp aus der Praxis: Bedingungen an der Stelle x = 0 sind ein Geschenk, denn dort fallen fast alle Glieder weg. Solche Gleichungen löst man zuerst und setzt das Ergebnis direkt in die übrigen ein.
Ein durchgerechnetes Beispiel
Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat den Tiefpunkt T(1|0) und den Wendepunkt W(0|2). Bestimme f.
Ansatz: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, f′(x) = 3ax2 + 2bx + c, f″(x) = 6ax + 2b.
Bedingungen:
| I | f(1) = 0 | a + b + c + d = 0 |
|---|---|---|
| II | f′(1) = 0 | 3a + 2b + c = 0 |
| III | f(0) = 2 | d = 2 |
| IV | f″(0) = 0 | 2b = 0, also b = 0 |
Lösen: Mit b = 0 und d = 2 werden I und II zu a + c = −2 und 3a + c = 0. Subtrahiert man die erste von der zweiten, bleibt 2a = 2, also a = 1 und damit c = −3.
Ergebnis: f(x) = x3 − 3x + 2
Probe: f″(1) = 6 > 0, also liegt bei x = 1 tatsächlich ein Tiefpunkt. f‴(0) = 6 ≠ 0, also ist W wirklich ein Wendepunkt.
Typische Stolperfallen
- Die y-Koordinate unterschlagen. „Hochpunkt H(1|4)“ ergibt zwei Gleichungen, nicht eine. Wer nur f′(1) = 0 notiert, dem fehlt am Ende eine Bedingung.
- Grad und Anzahl der Bedingungen verwechseln. Grad 3 braucht vier Gleichungen, Grad 4 braucht fünf.
- Parallele Geraden überinterpretieren. „Parallel zu y = 4x − 1“ verrät nur die Steigung 4. Der Achsenabschnitt −1 ist für die Aufgabe belanglos.
- Vorzeichenfehler bei negativen Stellen. (−2)3 = −8, aber (−2)4 = 16. Klammern setzen, bevor man potenziert.
- Die Probe weglassen. f′(x0) = 0 ist nur notwendig. Erst das Vorzeichen von f″(x0) entscheidet, ob Hoch- oder Tiefpunkt – und ob die Aufgabe überhaupt widerspruchsfrei ist.
- Ableitungsfaktoren vergessen. In f″ steht bei Grad 4 der Faktor 12 vor ax2, nicht 4.
Übung macht den Meister.
Am besten zunächst auf Niveau „Einstieg“ beginnen und sich dann hocharbeiten. Bei „Knifflig“ tauchen Brüche, Wendetangenten, Sattelpunkte und Symmetrien auf.