Lernlabor Wirtschaftsmathe
Kosten- und Preistheorie für die Oberstufe: Kostenfunktion, Erlös und Gewinn, Stückkosten, Monopol und Marktgleichgewicht. Mit Formelsammlung und Übungsraum.
Kosten, Erlös, Gewinn
Ein Betrieb stellt \(x\) Mengeneinheiten eines Produkts her. Drei Funktionen erzählen die ganze Geschichte: was die Herstellung kostet, was der Verkauf einbringt und was am Ende übrig bleibt.
Die grüne Fläche ist die Gewinnzone: Dort liegt der Erlös über den Kosten. Fahre mit der Maus oder dem Finger über das Diagramm, um Werte abzulesen.
Kostenfunktion. Was kostet es, \(x\) Mengeneinheiten herzustellen?
Erlösfunktion (auch Umsatz). Wie viel Geld bringt der Verkauf von \(x\) Mengeneinheiten ein?
Gewinnfunktion. Was bleibt übrig, wenn man die Kosten vom Erlös abzieht?
So liest du die Formeln
In dieser Lernseite wird alles in mathematischer Schreibweise dargestellt, so wie im Heft und in der Klausur. Falls ein Zeichen neu ist, findest du es hier.
| Schreibweise | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| \(3\cdot x\) oder \(3x\) | „3 mal \(x\)“. Vor Buchstaben darf der Malpunkt wegfallen. | \(x = 4:\ 3\cdot 4 = 12\) |
| \(\dfrac{a}{b}\) | „\(a\) geteilt durch \(b\)“ (Bruchstrich) | \(\dfrac{32}{4} = 8\) |
| \(x^3\) | „\(x\) hoch 3“, also \(x\cdot x\cdot x\) | \(2^3 = 2\cdot 2\cdot 2 = 8\) |
| \(K(5)\) | Setze 5 für jedes \(x\) in \(K\) ein. | \(K(5) = 5^3 - 6\cdot 5^2 + 15\cdot 5 + 32 = 82\) |
| \(K'(x)\) | „\(K\) Strich von \(x\)“: erste Ableitung, sie beschreibt die Steigung. | \(K'(x) = 3x^2 - 12x + 15\) |
| \(K''(x)\) | zweite Ableitung, sie beschreibt die Krümmung. | \(K''(x) = 6x - 12\) |
| \(\approx\) | „ungefähr gleich“, also ein gerundetes Ergebnis | \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\) |
| \(x_1,\ x_2\) | durchnummerierte Lösungen einer Gleichung | \(x_1 = 5,\ x_2 = -1\) |
| \(\Rightarrow\) | „daraus folgt“ | \(2x = 6 \Rightarrow x = 3\) |
ME sind Mengeneinheiten: Stück, Tonnen, Liter oder Kartons.
GE sind Geldeinheiten: Euro oder Tausend Euro. GE/ME heißt „Geldeinheiten pro Mengeneinheit“, also ein Preis pro Stück.
Das Beispiel, das dich durch alle Kapitel begleitet
Überall auf dieser Seite rechnen wir mit derselben Kostenfunktion. So siehst du, wie die Ergebnisse zusammenhängen.
\[\ck{K(x)} = x^3 - 6x^2 + 15x + 32\]Dein Lernweg
Werkzeugkasten
Fast jede Aufgabe läuft auf dieselben drei Handgriffe hinaus: ableiten, eine Gleichung lösen und das Ergebnis prüfen. Hier liegen die Werkzeuge dafür.
Ableitungsregeln
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Potenzregel | \((x^n)' = n\cdot x^{n-1}\) | \((x^3)' = 3x^2\) |
| Faktorregel | \((a\cdot f(x))' = a\cdot f'(x)\) | \((-6x^2)' = -6\cdot 2x = -12x\) |
| Summenregel | \((f + g)' = f' + g'\) | Jeden Summanden einzeln ableiten |
| Konstante | \((c)' = 0\) | \((32)' = 0\) |
| Lineares Glied | \((a\cdot x)' = a\) | \((15x)' = 15\) |
| Bruch mit \(x\) im Nenner | \(\dfrac{a}{x} = a\cdot x^{-1} \;\Rightarrow\; \left(\dfrac{a}{x}\right)' = -\dfrac{a}{x^2}\) | \(\left(\dfrac{32}{x}\right)' = -\dfrac{32}{x^2}\) |
Angewendet auf unsere Kostenfunktion:
\[\begin{aligned} \ck{K(x)} &= x^3 - 6x^2 + 15x + 32\\ \ck{K'(x)} &= 3x^2 - 12x + 15\\ \ck{K''(x)} &= 6x - 12\\ \ck{K'''(x)} &= 6 \end{aligned}\]Besondere Punkte finden
| Gesucht | Notwendige Bedingung | Hinreichende Bedingung |
|---|---|---|
| Tiefpunkt (Minimum) | \(f'(x) = 0\) | \(f''(x) > 0\) |
| Hochpunkt (Maximum) | \(f'(x) = 0\) | \(f''(x) \lt 0\) |
| Wendepunkt | \(f''(x) = 0\) | \(f'''(x) \neq 0\) |
| Nullstelle | \(f(x) = 0\) | – |
Notwendig heißt: Ohne diese Bedingung kann es den Punkt nicht geben. Hinreichend heißt: Ist sie erfüllt, ist der Punkt sicher gefunden. In der Klausur gehören beide Schritte dazu.
Quadratische Gleichungen: die pq-Formel
Vor \(x^2\) muss eine 1 stehen. Steht dort eine andere Zahl, teilst du zuerst die ganze Gleichung durch diese Zahl.
Beispiel Schritt für Schritt: \(-3x^2 + 12x + 15 = 0\)
- Durch \(-3\) teilen, damit vor \(x^2\) eine 1 steht: \(x^2 - 4x - 5 = 0\)
- Ablesen: \(p = -4\) und \(q = -5\)
- Einsetzen: \(x_{1,2} = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 - (-5)} = 2 \pm \sqrt{4 + 5} = 2 \pm 3\)
- \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\)
Negative Mengen gibt es nicht. Wirtschaftlich sinnvoll ist nur \(x = 5\).
Gleichungen dritten Grades
Für Gleichungen mit \(x^3\) gibt es keine einfache Formel. Gehe so vor: Probiere kleine ganze Zahlen aus (1, 2, 3 …). Ergibt sich 0, hast du eine Lösung gefunden. Weitere Lösungen bekommst du mit der Polynomdivision oder mit dem Taschenrechner (GTR).
Beispiel: \(x^3 - 3x^2 - 16 = 0\). Probe mit \(x = 4\):
\[4^3 - 3\cdot 4^2 - 16 = 64 - 48 - 16 = 0 \;\checkmark\]Die Kostenfunktion
Die Gesamtkosten bestehen aus zwei Teilen:
\[\ck{K(x)} = K_v(x) + K_f\]Fixkosten \(K_f\)
Entstehen immer, auch wenn nichts produziert wird: Miete, Versicherungen, Leasingraten. Im Graphen ist das der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, denn \(K(0) = K_f\).
Variable Kosten \(K_v(x)\)
Steigen mit der Menge: Material, Energie, Löhne in der Produktion. Bei null Stück sind sie null.
Bei unserem Beispiel ist \(K_v(x) = x^3 - 6x^2 + 15x\) und \(K_f = 32\).
Ertragsgesetzliche Kostenfunktion
\[\ck{K(x)} = ax^3 + bx^2 + cx + d \qquad a > 0,\quad b \lt 0,\quad c > 0,\quad d \ge 0\]Die Zahl \(d\) ohne \(x\) ist immer der Fixkostenanteil.
Degressiv, progressiv und die Kostenkehre
Am Anfang steigen die Kosten immer langsamer. Man nennt das degressiv: Maschinen und Personal werden besser ausgelastet, jede zusätzliche Einheit wird günstiger. Ab einem bestimmten Punkt kippt das: Überstunden, Verschleiß und Engpässe sorgen dafür, dass die Kosten immer schneller steigen. Das heißt progressiv.
Der Kipppunkt heißt Kostenkehre. Mathematisch ist das der Wendepunkt von \(K\).
Beispiel Schritt für Schritt: Kostenkehre berechnen
- Zweimal ableiten: \(K'(x) = 3x^2 - 12x + 15\) und \(K''(x) = 6x - 12\)
- Null setzen: \(6x - 12 = 0 \;\Rightarrow\; 6x = 12 \;\Rightarrow\; x = 2\)
- Prüfen: \(K'''(x) = 6 \neq 0\) ✓
- \(y\)-Wert: \(K(2) = 2^3 - 6\cdot 2^2 + 15\cdot 2 + 32 = 8 - 24 + 30 + 32 = 46\)
Die Kostenkehre liegt bei \(W(2 \mid 46)\). Bis 2 ME steigen die Kosten degressiv, danach progressiv.
Grenzkosten
Die erste Ableitung \(\ck{K'(x)}\) heißt Grenzkosten. Sie gibt ungefähr an, wie viel die nächste Mengeneinheit zusätzlich kostet.
\[\ck{K'(5)} = 3\cdot 5^2 - 12\cdot 5 + 15 = 75 - 60 + 15 = 30\]Bei einer Produktion von 5 ME kostet die nächste Mengeneinheit also etwa 30 GE zusätzlich. An der Kostenkehre sind die Grenzkosten am kleinsten: \(K'(2) = 3\). Im Diagramm siehst du das am Tiefpunkt der gestrichelten Kurve.
Stolpersteine
- Beim Ableiten fallen die Fixkosten weg. Darum ändern sie weder die Kostenkehre noch die Grenzkosten. Probier es oben mit dem Regler aus.
- \(K(0)\) ist nicht 0, sondern gleich den Fixkosten.
Erlös und Gewinn im Polypol
Im Polypol gibt es viele Anbieter und viele Nachfrager. Ein einzelner Betrieb kann den Marktpreis nicht beeinflussen, er muss ihn hinnehmen. Der Preis \(p\) ist also eine feste Zahl.
Die Erlösfunktion ist eine Gerade durch den Ursprung. Ihre Steigung ist der Preis.
| Begriff | Bedingung | Bedeutung |
|---|---|---|
| Gewinnschwelle | erste Nullstelle von \(G\) | Ab hier macht der Betrieb Gewinn. |
| Gewinngrenze | zweite Nullstelle von \(G\) | Ab hier entsteht wieder Verlust. |
| Gewinnzone | zwischen den Nullstellen | Erlös liegt über den Kosten. |
| Gewinnmaximum | \(G'(x) = 0\) und \(G''(x) \lt 0\) | Menge mit dem größten Gewinn |
Die Klammer!
\[\cg{G(x)} = 30x - (x^3 - 6x^2 + 15x + 32) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 32\]Das Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer um. Wer die Klammer vergisst, rechnet ab hier alles falsch.
Beispiel Schritt für Schritt: Preis 30 GE/ME
Der Marktpreis beträgt 30 GE/ME. Bestimme das Gewinnmaximum und die Gewinnzone.
- Gewinnfunktion: \(G(x) = 30x - K(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 32\)
- Ableiten: \(G'(x) = -3x^2 + 12x + 15\) und \(G''(x) = -6x + 12\)
- \(G'(x) = 0\) durch \(-3\) teilen: \(x^2 - 4x - 5 = 0\)
- pq-Formel: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 5} = 2 \pm 3\), also \(x_1 = 5\) (\(x_2 = -1\) entfällt)
- Prüfen: \(G''(5) = -30 + 12 = -18 \lt 0\), also Maximum ✓
- Maximaler Gewinn: \(G(5) = -125 + 150 + 75 - 32 = 68\)
- Gewinnzone: \(G(x) = 0\) mit dem GTR lösen: \(x_S \approx 1{,}48\) und \(x_G \approx 7{,}44\)
Bei 5 ME erzielt der Betrieb den maximalen Gewinn von 68 GE. Gewinn entsteht zwischen etwa 1,48 ME und 7,44 ME.
Ist eine Nullstelle schon bekannt, zum Beispiel aus der Aufgabenstellung, findest du die anderen per Polynomdivision.
Stückkosten und Preisuntergrenzen
Bisher ging es um die Kosten der gesamten Menge. Oft will man aber wissen: Was kostet ein einzelnes Stück? Dafür teilt man durch die Menge \(x\).
Bei unserem Beispiel:
\[\cs{k(x)} = x^2 - 6x + 15 + \frac{32}{x} \qquad\quad \cv{k_v(x)} = x^2 - 6x + 15\]Betriebsminimum: die kurzfristige Preisuntergrenze
Das Minimum der variablen Stückkosten heißt Betriebsminimum. Liegt der Preis darunter, deckt der Verkauf nicht einmal Material und Energie. Dann ist es besser, die Produktion sofort einzustellen.
Beispiel Schritt für Schritt: Betriebsminimum
- Ableiten und null setzen: \(k_v'(x) = 2x - 6 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3\)
- Prüfen: \(k_v''(x) = 2 > 0\), also Minimum ✓
- Einsetzen: \(k_v(3) = 3^2 - 6\cdot 3 + 15 = 9 - 18 + 15 = 6\)
Das Betriebsminimum liegt bei 3 ME. Die kurzfristige Preisuntergrenze beträgt 6 GE/ME.
Betriebsoptimum: die langfristige Preisuntergrenze
Das Minimum der gesamten Stückkosten heißt Betriebsoptimum. Hier produziert der Betrieb am günstigsten. Liegt der Preis darunter, entsteht auf Dauer Verlust, weil die Fixkosten nicht gedeckt sind.
Beispiel Schritt für Schritt: Betriebsoptimum
- Umschreiben: \(\dfrac{32}{x} = 32x^{-1}\), dann ableiten: \(k'(x) = 2x - 6 - \dfrac{32}{x^2}\)
- Null setzen und mit \(x^2\) malnehmen: \(2x^3 - 6x^2 - 32 = 0\), durch 2 teilen: \(x^3 - 3x^2 - 16 = 0\)
- Probieren: \(4^3 - 3\cdot 4^2 - 16 = 64 - 48 - 16 = 0\) ✓, also \(x = 4\)
- Einsetzen: \(k(4) = 16 - 24 + 15 + \dfrac{32}{4} = 15\)
Das Betriebsoptimum liegt bei 4 ME. Die langfristige Preisuntergrenze beträgt 15 GE/ME.
Profi-Probe
Die Grenzkostenkurve \(\ck{K'(x)}\) schneidet \(\cv{k_v}\) und \(\cs{k}\) genau in ihren Tiefpunkten:
\[\ck{K'(3)} = 27 - 36 + 15 = 6 \qquad \ck{K'(4)} = 48 - 48 + 15 = 15\]Damit kannst du deine Ergebnisse in Sekunden kontrollieren.
| Preis | Was passiert? | Entscheidung |
|---|---|---|
| \(p \lt 6\) | Nicht einmal die variablen Kosten sind gedeckt. | Produktion sofort einstellen |
| \(6 \le p \lt 15\) | Variable Kosten sind gedeckt, die Fixkosten nur teilweise. | Kurzfristig weiterproduzieren, langfristig Verlust |
| \(p \ge 15\) | Alle Kosten sind gedeckt. | Gewinn möglich (bei genau 15 kostendeckend) |
Stolpersteine
- Nicht verwechseln: Das Betriebsminimum gehört zu \(k_v\) und ist kurzfristig. Das Betriebsoptimum gehört zu \(k\) und ist langfristig.
- Preisuntergrenzen sind Preise. Ihre Einheit ist GE/ME, nicht GE.
Monopol und Cournot'scher Punkt
Ein Monopolist ist der einzige Anbieter. Er darf den Preis selbst festlegen, aber die Kunden reagieren: Je teurer das Produkt, desto weniger wird gekauft. Diesen Zusammenhang beschreibt die Preis-Absatz-Funktion.
Höchstpreis \(p(0) = n\)
Ab diesem Preis kauft niemand mehr. Hier: 39 GE/ME.
Sättigungsmenge aus \(p(x) = 0\)
Mehr nehmen die Kunden selbst geschenkt nicht ab: \(-3x + 39 = 0 \Rightarrow x = 13\)
Der Erlös ist wieder Preis mal Menge. Jetzt hängt aber der Preis selbst von der Menge ab:
\[\ce{E(x)} = \cv{p(x)}\cdot x = (-3x + 39)\cdot x = -3x^2 + 39x\]Das ist eine nach unten geöffnete Parabel.
Die blaue Fläche ist der Erlös im Cournot'schen Punkt: Preis mal Menge, also ein Rechteck.
Der Cournot'sche Punkt
Der Monopolist sucht die Menge mit dem größten Gewinn, nicht mit dem größten Erlös. Den zugehörigen Punkt auf der Preis-Absatz-Funktion nennt man Cournot'schen Punkt \(C(x_C \mid p_C)\).
Beispiel Schritt für Schritt: Cournot'scher Punkt
- Gewinnfunktion: \(G(x) = -3x^2 + 39x - (x^3 - 6x^2 + 15x + 32) = -x^3 + 3x^2 + 24x - 32\)
- \(G'(x) = -3x^2 + 6x + 24 = 0\), durch \(-3\) teilen: \(x^2 - 2x - 8 = 0\)
- pq-Formel: \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 8} = 1 \pm 3\), also \(x_1 = 4\) (\(x_2 = -2\) entfällt)
- Prüfen: \(G''(x) = -6x + 6\) und \(G''(4) = -18 \lt 0\), also Maximum ✓
- Cournot-Preis aus der Preis-Absatz-Funktion: \(p(4) = -3\cdot 4 + 39 = 27\)
- Maximaler Gewinn: \(G(4) = -64 + 48 + 96 - 32 = 48\)
Cournot'scher Punkt \(C(4 \mid 27)\): Der Monopolist verkauft 4 ME zum Preis von 27 GE/ME und erzielt 48 GE Gewinn.
Zum Vergleich das Erlösmaximum: \(E'(x) = -6x + 39 = 0 \Rightarrow x = 6{,}5\). Bei einer linearen Preis-Absatz-Funktion liegt es immer genau bei der halben Sättigungsmenge.
Stolperstein
Den Cournot-Preis berechnest du mit \(p(x_C)\), nicht mit \(G(x_C)\) und nicht mit \(E(x_C)\). \(G(4) = 48\) ist der Gewinn, kein Preis.
Marktgleichgewicht
Auf einem Markt treffen zwei Seiten aufeinander. Die Nachfrager kaufen umso weniger, je teurer es wird. Die Anbieter bieten umso mehr an, je höher der Preis ist.
Im Gleichgewicht sind beide Preise gleich: \(\ce{p_N(x)} = \ck{p_A(x)}\)
Beispiel Schritt für Schritt: Gleichgewicht berechnen
- Gleichsetzen: \(-2x + 40 = 0{,}5x + 10\)
- Alle \(x\) nach links, Zahlen nach rechts: \(-2{,}5x = -30\)
- Teilen: \(x = \dfrac{-30}{-2{,}5} = 12\)
- Preis: \(p_A(12) = 0{,}5\cdot 12 + 10 = 16\)
Gleichgewichtsmenge 12 ME, Gleichgewichtspreis 16 GE/ME, also Marktgleichgewicht \(M(12 \mid 16)\).
Überschuss bei falschem Preis
Liegt der Preis über 16, wird mehr angeboten als gekauft: ein Angebotsüberhang. Liegt er darunter, wollen mehr Menschen kaufen, als Ware da ist: ein Nachfrageüberhang. Darum pendelt sich der Markt beim Gleichgewicht ein. Verschiebe den Regler und beobachte den gelben Balken.
Ausblick: Konsumenten- und Produzentenrente
Dieses Thema kommt oft erst mit der Integralrechnung. Die Konsumentenrente ist die Ersparnis der Käufer, die auch mehr gezahlt hätten. Die Produzentenrente ist der Vorteil der Anbieter, die auch billiger verkauft hätten.
\[KR = \int_0^{12} \left(\ce{p_N(x)} - 16\right)dx = 144 \qquad\quad PR = \int_0^{12} \left(16 - \ck{p_A(x)}\right)dx = 36\]Bei Geraden geht es auch ohne Integral, über Dreiecksflächen: \(KR = \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 24 = 144\) und \(PR = \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 6 = 36\).
Steckbriefaufgaben
Manchmal ist die Funktion nicht gegeben, sondern nur ihre Eigenschaften, wie bei einem Steckbrief. Du übersetzt jede Information in eine Gleichung und löst das Gleichungssystem.
| Im Text steht … | Gleichung |
|---|---|
| „Die Fixkosten betragen 32 GE.“ | \(K(0) = 32 \;\Rightarrow\; d = 32\) |
| „Bei 2 ME entstehen Kosten von 46 GE.“ | \(K(2) = 46\) |
| „Die Kostenkehre liegt bei 2 ME.“ | \(K''(2) = 0\) |
| „Bei 5 ME betragen die Grenzkosten 30 GE/ME.“ | \(K'(5) = 30\) |
| „Das Betriebsminimum liegt bei 3 ME.“ | \(k_v'(3) = 0\) |
| „Die Gewinnschwelle liegt bei 2 ME.“ | \(G(2) = 0\) |
Eine Funktion dritten Grades hat vier Unbekannte \(a, b, c, d\). Du brauchst also vier Informationen.
Beispiel Schritt für Schritt: Kostenfunktion aufstellen
Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion hat Fixkosten von 32 GE. Bei 1 ME entstehen Kosten von 42 GE, bei 2 ME 46 GE und bei 4 ME 60 GE. Bestimme die Funktionsgleichung.
- Ansatz \(K(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Aus den Fixkosten folgt \(d = 32\).
- Punkte einsetzen und die 32 auf die rechte Seite bringen: \[\begin{aligned} \text{I:}\quad & a + b + c = 10\\ \text{II:}\quad & 8a + 4b + 2c = 14\\ \text{III:}\quad & 64a + 16b + 4c = 28 \end{aligned}\]
- \(c\) entfernen: \(\text{II} - 2\cdot\text{I}:\ 6a + 2b = -6\) und \(\text{III} - 4\cdot\text{I}:\ 60a + 12b = -12\)
- \(b\) entfernen: \((60a + 12b) - 6\cdot(6a + 2b) = -12 - 6\cdot(-6)\), also \(24a = 24 \;\Rightarrow\; a = 1\)
- Rückwärts einsetzen: \(6 + 2b = -6 \Rightarrow b = -6\) und \(1 - 6 + c = 10 \Rightarrow c = 15\)
\(K(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 32\), also unsere bekannte Kostenfunktion.
Mach die Probe
Setze die gegebenen Punkte zur Kontrolle in die fertige Funktion ein. Ein Vorzeichenfehler im Gleichungssystem zieht sich sonst durch die ganze Aufgabe.
Formelsammlung
| Begriff | Formel oder Bedingung | Bedeutung |
|---|---|---|
| Gesamtkosten | \(\ck{K(x)} = K_v(x) + K_f\) | \(K(0) = K_f\) |
| Grenzkosten | \(\ck{K'(x)}\) | Zusatzkosten der nächsten ME |
| Kostenkehre | \(K''(x) = 0\) | Übergang degressiv zu progressiv |
| Stückkosten | \(\cs{k(x)} = \dfrac{K(x)}{x}\) | Kosten pro Stück |
| variable Stückkosten | \(\cv{k_v(x)} = \dfrac{K_v(x)}{x}\) | variable Kosten pro Stück |
| Betriebsminimum | \(k_v'(x) = 0\) | kurzfristige Preisuntergrenze \(k_v(x_{BM})\) |
| Betriebsoptimum | \(k'(x) = 0\) | langfristige Preisuntergrenze \(k(x_{BO})\) |
| Erlös im Polypol | \(\ce{E(x)} = p\cdot x\) | Preis fest |
| Erlös im Monopol | \(\ce{E(x)} = p(x)\cdot x\) | \(p(x) = -m\cdot x + n\) |
| Gewinn | \(\cg{G(x)} = E(x) - K(x)\) | Klammer um \(K(x)\)! |
| Gewinnschwelle und -grenze | \(G(x) = 0\) | Grenzen der Gewinnzone |
| Gewinnmaximum | \(G'(x) = 0,\ G''(x) \lt 0\) | größter Gewinn |
| Höchstpreis | \(p(0)\) | Ab hier kauft niemand. |
| Sättigungsmenge | \(p(x) = 0\) | Markt ist gesättigt. |
| Erlösmaximum | \(E'(x) = 0\) | größter Umsatz |
| Cournot'scher Punkt | \(C\big(x_C \mid p(x_C)\big)\) | \(x_C\) aus \(G'(x) = 0\), Preis aus \(p(x)\) |
| Marktgleichgewicht | \(p_N(x) = p_A(x)\) | Angebot gleich Nachfrage |
| Konsumentenrente | \(\displaystyle\int_0^{x_M} \big(p_N(x) - p_M\big)\,dx\) | Ersparnis der Käufer |
| Produzentenrente | \(\displaystyle\int_0^{x_M} \big(p_M - p_A(x)\big)\,dx\) | Vorteil der Anbieter |
Klausur-Checkliste
- Einheiten dazuschreiben: Mengen in ME, Kosten und Gewinn in GE, Preise in GE/ME.
- Negative Lösungen ausschließen, denn negative Mengen gibt es nicht.
- Die hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung prüfen, sonst gibt es Punktabzug.
- Bei \(G(x) = E(x) - K(x)\) die Klammer um \(K(x)\) setzen.
- Einen Antwortsatz schreiben. Die Frage ist wirtschaftlich, also auch die Antwort.
Übungsraum
Wähle ein Thema. Jede Aufgabe wird neu erzeugt, du kannst also beliebig oft üben. Dezimalzahlen darfst du mit Komma oder Punkt eingeben und auf zwei Nachkommastellen runden.